Determine os pares de n´umeros inteiros positivos m e n que satisfazem a equa¸c˜ao m2 = n2 + m + n + 2018.

Observe que podemos escrever a equação x² - y² = 2¹⁴ da seguinte maneira: (x + y)(x - y) = 2¹⁴.

Temos então uma multiplicação de dois números cujo resultado é 2¹⁴.

O número 2¹⁴ possui 15 divisores positivos. São eles:

1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 4096, 8192 e 16384.

Então, temos as seguintes possibilidades de multiplicação que resulta em 2¹⁴:

1.16384

2.8192

4.4096

8.2048

16.1024

32.512

64.256

128.128

Perceba que a primeira multiplicação não será satisfeita, pois:

x + y = 1

x - y = 16384

Somando as duas equações:

2x = 16385

x = 8192,5

ou seja, x não é um número inteiro.

Portanto, existem 7 pares de inteiros positivos, tais que x² - y² = 2¹⁴.

Oi!

Para responder essa questão, devemos, primeiramente, levar em consideração encontrar os valores de x e de y, acompanhe a seguinte linha de raciocínio:

-->  o valor de x:, basta que façamos a soma das 2 equações, assim  

x + y + x - y = 2^a + 2^b  

2 . x = 2^a + 2^b  

x = 2^(a-1) + 2^(b-1)  

--> o valor de y, agora basta que façamos a subtração entre as 2 equações de modo que

x + y - (x - y) = 2^a - 2^b  

2 . y = 2^a - 2^b  

y =2^(a-1) - 2^(b-1)  

Por fim, a solução do sistema descrito no enunciado do exercício será: (2009,1) , (2008,2) , (2007,3) , ... , (1006,1004).

Perceba que x² - y² é uma diferença de quadrados.

Então, podemos reescrever a equação x² - y² = 2²⁰ da seguinte maneira:

(x + y)(x - y) = 2²⁰.

O número 2²⁰ possui 21 divisores positivos. São eles:

1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8192, 16384, 32768, 65536, 131072, 262144, 524288 e 1048576.

Perceba que queremos dois números inteiros positivos cuja multiplicação resulta em 2²⁰.

Sendo assim, temos as seguintes possibilidades:

1.1048576

2.524288

4.262144

8.131072

16.65536

32.32768

64.16384

128.8192

256.4096

512.2048

1024.1024

Perceba que a única multiplicação que não será satisfeita será a 1.1048576, pois:

x + y = 1

x - y = 1048576

Somando as duas equações:

2x = 1048577

x = 524288,5 → x não é um número inteiro.

Portanto, existem 10 pares de inteiros positivos que satisfazem a equação x² - y² = 2²⁰.

resposta:

sla

explicação passo-a-passo:

explicação passo-a-passo:

em português ela e uma palavra composta , já em inglês ela é simples pois ser escreve starfish